প্রথম পদ a ও সাধারণ অন্তর d হলে ,
  r তম পদ = a+(r-1)d
    ৬ তম পদ    =a+(6-1)d
    or,52=a+5 × 10
    or,a=52-50
       ∴ a=2
15 তম পদ =2+(15-1) ×10=2+140=142

আমরা জানি,
1² + 2² + 3² + 4² + ........... + n² = (1/6){n(n+1)(2n + 1)}

1² + 2² + 3² + 4² + ........... + 20² = (1/6){20(20+1)(2×20 + 1)}
                                                     = (20×21×41)/6
                                                     = 2870

১+২=৩

৩+৩=৬

৬+৪=১০

১০+৫=১৫

১৫+৬=২১

২১+৭=২৮

২৮+৮=৩৬

৩৬+৯=৪৫

৪৫+১০=৫৫

৫৫+১১=৬৬

পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - প্রথম পদ)/সাধারণ অন্তর} + 1
= {(46 - 7)/3} + 1
= 13 + 1
= 14

a = 5

d = 8-5 = 3

    ধরি, n তম পদ = ৩৮৩

           a+(n-1)d = 383

           5+(n-1)3 = 383

           (n-1)3 = 378

            n-1 = 378/3 = 126

            n= 127 (Ans)

১, ৩, ৫, ৭, ৯, ১১, ১৩, ১৫

বিজোড় সংখ্য গুলো

অতএব, অষ্টম পদ = ১৫

কোন ধারার n তম পদ 3n + 1 হলে
ধারাটির ১ম পদ = 3 × 1 + 1 = 3 + 1 = 4
ধারাটির ২য় পদ = 3 × 2 + 1= 6 + 1 = 7
ধারাটির ৩য় পদ = 3 × 3 + 1 = 9 + 1 = 10
ধারাটির ৪র্থ পদ = 3 × 4 + 1 = 12 + 1 = 13
ধারাটির ৫ম পদ = 3 × 5 + 1 = 15 + 1 = 16
........................................................................
ধারাটি:  4, 7, 10, 13, 16, .........................

ধারাটির ১ম পদ, a = log3
সাধারণ অন্তর, d = (log9 - log3) = (log3² - log3) = (2log3 - log3) = log3

∴ ধারাটির অষ্টম পদ = log3 + (8 - 1)log3
= log3 + (7 × log3)
= 8log3

ধরি, 

 ধারাটির ১ম পদ a 

সাধারণ অন্তর d 

  a+(5-1)d = 18 

=> a+4d = 18 .........(1) 

এবং 5/2 {2a+(5-1)d} = 75 

=> 2a + 4d = 30 .......(2) 

 (1) × 2 - (2) 

 2a + 8d = 36 

 2a + 4d = 30 

(-)    (-)    (-) 

________________ 

=> 4d  = 6 

=> d = 6/4 

     d = 3/2 

(1) => a + 4 × 3/2 = 18 

  => a + 6 = 18 

  => a = 18 - 6 

          a = 12    

মনে করি,
১ম পদ, a = 1/12
সাধারণ অনুপাত, r
= (1/24) ÷ (1/12)
= (1/24) × (12/1)
= 1/2 < 1

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি
= a/(1 - r)
= (1/12) ÷ (1 - 1/2)
= (1/12) ÷ (1/2)
= (1/12) × 2
= 1/6