টপিকঃ বৃত্ত
1.
পরস্পরকে স্পর্শ করে আছে এমন তিনটি বৃত্তের কেন্দ্র P, Q, R এবং PQ=a, QR=b, RP=c হলে P কেন্দ্রিক বৃত্তের ব্যাস হবে -
প্রশ্নে মতে, PQ=a, QR=b, RP=c
যেহুতু, P, Q, R কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ করে। তাই PQ হবে P ও Q কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমষ্টির সমান।
P কেন্দ্রিক বৃত্তের ব্যাস হবে = PQ + PR - QR
= a + c - b
= a-b+c
2.
কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধ যদি ২০% কমে, তবে উক্ত বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত % কমবে ----
বৃত্তের ব্যাসার্ধ ২০% কমলে উক্ত বৃত্তের ক্ষেত্রফল
কমবে {-২০ -২০ + (-২০×-২০ /১০০)}%
= (- ৪০ + ৪)%
= -৩৬%
অর্থাৎ ক্ষেত্রফল ৩৬% কমবে ।
3.
একটি বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফল যথাক্রমে ১৩২ সেন্টিমিটার ও ১৩৮৬ বর্গসেন্টিমিটার। বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত?
একটি বৃত্তের পরিধি হলে P এবং ক্ষেত্রফল হলে A দেওয়া আছে। আমরা এই তথ্যগুলি ব্যবহার করে বৃত্তের ব্যাসার্ধ (r) এবং ব্যাস (d) নির্ণয় করতে পারি।
পরিধি (P) এর সমানুপাতিক বৃত্তাংশ হলে,
P = 2πr
আর ক্ষেত্রফল (A) এর সমানুপাতিক বৃত্তাংশ হলে,
A = πr^2
এখানে, P = 132 সেন্টিমিটার এবং A = 1386 বর্গসেন্টিমিটার।
P = 2πr থেকে আমরা ব্যাসার্ধ (r) বের করতে পারি:
r = P / (2π)
= 132 / (2 × 3.14)
≈ 21 সেন্টিমিটার (প্রকাশ করা হচ্ছে একটি সংখ্যায় সংক্ষেপে)
A = πr^2 থেকে আমরা ব্যাস (d) বের করতে পারি:
d = 2√(A/π)
= 2√(1386/3.14)
≈ 42 সেন্টিমিটার (প্রকাশ করা হচ্ছে একটি সংখ্যায় সংক্ষেপে)
তাই, বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা-এর দৈর্ঘ্য প্রায় ৪২ সেন্টিমিটার। সুতরাং, উপলব্ধ উত্তরগুলির মধ্যে সঠিক উত্তরটি হলো ৪২ সেন্টিমিটার।
4.
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের যোগফল __
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের যে কোন দুইটি বিপরীত কোনের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০ ডিগ্রি হয়।
রম্বসের দুইটি বিপরীত কোনের সমষ্টি কখনো দুই সমকোণ বা ১৮০ ডিগ্রি হয় না।
সুতরাং, রম্বস বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ হয় না।
বর্গ, আয়ত, ট্রাপিজিয়াম - এই তিন চতুর্ভুজের দুইটি বিপরীত কোনের সমষ্টি সর্বদা দুই সমকোণ বা ১৮০ ডিগ্রি হয়।
5.
৫৬ ফুট ব্যাসের বৃত্তাকার ক্ষেত্রকে একই ক্ষেত্রফলের একটি বর্গক্ষেত্র করলে, বর্গক্ষেত্রের যে কোনো এক দিকের দৈর্ঘ্য কত হবে?
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ব্যাসার্ধ ৫৬/২ ফুট = ২৮ ফুট
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল πr² = π(২৮)²
= ২২/৭ × ২৮ × ২৮ = ২৪৬৪ বর্গফুট
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ২৪৬৪
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = রুট (২৪৬৪) = ৪৯.৬ ফুট
6.
ABCD বৃত্তে AB এবং CD দুটি সমান জ্যা পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করলে কোনটি সত্য?
PB = PD
কারণ, সমান সমান জ্যাদ্বয় পরস্পর ছেদ করলে ১ টির খণ্ডিত অংশ অপরটির সমান হয়।
7.
৭ সে. মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তলিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?
বৃত্তের ব্যাস হবে = ৭ + ৭ = ১৪ সে.মি.
আমরা জানি, বর্গের কর্ন = √২.a
বর্গের ক্ষেত্রফল = a২
সুতরাং বর্গের কর্ন, √২.a = ১৪
= >a = ১৪/√২
= >a২ = (১৪/√২)২
= >a২ = ৯৮ ব.সে.মি.
8.
A = {x: x স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যা} সেটটি কোন পদ্ধতিতে প্রকাশিত রূপ?
A={x:x স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যা} সেটটি সেট গঠন পদ্ধতি (Set-builder method)-তে প্রকাশিত।
ব্যাখ্যা:
সেট প্রকাশের প্রধানত দুটি পদ্ধতি আছে:
১. তালিকা পদ্ধতি (Roster Method): যেখানে সেটের উপাদানগুলো কমা দিয়ে আলাদা করে সরাসরি উল্লেখ করা হয়। যেমন: A={1,3,5,...}
২. সেট গঠন পদ্ধতি (Set-builder Method): যেখানে উপাদানগুলোর সরাসরি তালিকা না দিয়ে তাদের সাধারণ ধর্ম বা শর্তের উল্লেখ করা হয়।
যেহেতু এখানে শর্ত দেওয়া হয়েছে (x স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যা), তাই এটি সেট গঠন পদ্ধতি।
9.
বৃত্তের কেন্দ্র ছেদকারী জ্যাকে কি বলা হয়?
- বৃত্তের পরিধির যে কোন দুই বিন্দুর সংযোজক সরল রেখাকে জ্যা বলা হয়।
- যদি কোন জ্যা বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়, তাকে ব্যাস বলা হয়। ব্যাস বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা।
- বৃত্তচাপ হলো বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী যে বক্ররেখা তৈরি হয়।
- বৃত্তের পরিধি হলো পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্য।
10.
13 সে. মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের একটি জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 24 সে. মি. হলে কেন্দ্র থেকে উক্ত জ্যা-এর লম্ব দূরত্ব কত সে. মি.?
1. প্রথমে, বৃত্তটির কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর উপর একটি লম্ব আঁকা হলো। আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে কোনো জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব সেই জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
2. সুতরাং, 24 সে.মি. দীর্ঘ জ্যা-টি দুটি সমান ভাগে বিভক্ত হয়ে যাবে। প্রতিটি ভাগের দৈর্ঘ্য হবে 24 / 2 = 12 সে.মি.।
3. এখন, বৃত্তের কেন্দ্র, জ্যা-এর মধ্যবিন্দু এবং জ্যা-এর যেকোনো একটি প্রান্তবিন্দু যোগ করলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি হয়।
- এই সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ হলো বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = 13 সে.মি.।
- ভূমি হলো জ্যা-এর অর্ধাংশ = 12 সে.মি.।
- লম্ব হলো কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর দূরত্ব, যা আমাদের নির্ণয় করতে হবে।
4. পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
(লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²
বা, (লম্ব)² + (12)² = (13)²
বা, (লম্ব)² + 144 = 169
বা, (লম্ব)² = 169 - 144
বা, (লম্ব)² = 25
বা, লম্ব = √25
∴ লম্ব = 5 সে.মি.
সুতরাং, কেন্দ্র থেকে জ্যা-টির লম্ব দূরত্ব হলো 5 সে.মি.।